方法介绍

拉格朗日乘数法一般用于求最值。

基本形式就是，已知条件 f(x1,x2,⋯ ,xn)=kf(x_1,x_2,\cdots,x_n)=k，求 g(x1,x2,⋯ ,xn)g(x_1,x_2,\cdots,x_n) 的极值。

这时我们在 g(x1,x2,⋯ ,xn)g(x_1,x_2,\cdots,x_n) 上加一个 λ(f(x1,x2,⋯ ,xn)−k)\lambda(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)-k)。由于 f(x1,x2,⋯ ,xn)−k=0f(x_1,x_2,\cdots,x_n)-k=0，事实上是不影响的。

接下来分别对 x1,x2,⋯ ,xn,λx_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda 求偏导数，解一个方程组即可。

这样就成功的把限制条件搞到了代求式中。

当然这种方法比较暴力，所以一般情况下我们会选择技巧性更强的方法。

例 1

已知 x,y,z∈Rx,y,z\in\mathbb R 满足 x+2y+z=1x+2y+z=1，求 xy+yz+zxxy+yz+zx 的最大值。

我们设 λ∈R\lambda\in\mathbb R，且 F=xy+yz+zxF=xy+yz+zx。

显然

F=xy+yz+zx+λ(x+2y+z−1)F=xy+yz+zx+\lambda(x+2y+z-1)

那么

{Fx′=y+z+λ=0Fy′=x+z+2λ=0Fz′=x+y+λ=0Fλ′=x+2y+z−1=0\begin{cases}F_x^\prime=y+z+\lambda=0\\F_y^\prime=x+z+2\lambda=0\\F_z^\prime=x+y+\lambda=0\\F_\lambda^\prime=x+2y+z-1=0\end{cases}

于是

{x=12y=0z=12λ=−12\begin{cases}x=\dfrac12\\y=0\\z=\dfrac12\\\lambda=-\dfrac12\end{cases}

所以 Fmax⁡=14F_{\max}=\dfrac14。

例 2

已知 x,y∈Rx,y\in\mathbb R 满足 x2+y2=1x^2+y^2=1，求 xyxy 的最值。

注意这里没有说明最值的类型，所以最值可能包含了最大值和最小值。

我们设 λ∈R\lambda\in\mathbb R，且 F=xyF=xy。

显然

F=xy+λ(x2+y2−1)F=xy+\lambda(x^2+y^2-1)

那么

{Fx′=y+2λx=0Fy′=x+2λy=0Fλ′=x2+y2−1=0\begin{cases}F_x^\prime=y+2\lambda x=0\\F_y^\prime=x+2\lambda y=0\\F_\lambda^\prime=x^2+y^2-1=0\end{cases}

于是

{x=22y=−22λ=12or⁡{x=−22y=22λ=12or⁡{x=22y=22λ=−12or⁡{x=−22y=−22λ=−12\begin{cases}x=\dfrac{\sqrt2}{2}\\y=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\\lambda=\dfrac12\end{cases}\operatorname{or} \begin{cases}x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\y=\dfrac{\sqrt2}{2}\\\lambda=\dfrac12\end{cases}\operatorname{or} \begin{cases}x=\dfrac{\sqrt2}{2}\\y=\dfrac{\sqrt2}{2}\\\lambda=-\dfrac12\end{cases}\operatorname{or} \begin{cases}x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\y=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\\lambda=-\dfrac12\end{cases}

所以 Fmax⁡=12,Fmin⁡=−12F_{\max}=\dfrac12,F_{\min}=-\dfrac12。

例 3

已知 x,y,z∈Rx,y,z\in\mathbb R 满足 x+y+z=1,x+2y−z=0x+y+z=1,x+2y-z=0，求 2xy−3y−z2xy-3y-z 的最值。

我们对原方法转换一下。

设 λ,μ∈R\lambda,\mu\in\mathbb R，且 F=2xy−3y−zF=2xy-3y-z。

显然

F=2xy−3y−z+λ(x+y+z−1)+μ(x+2y−z)F=2xy-3y-z+\lambda(x+y+z-1)+\mu(x+2y-z)

所以

{Fx′=2y+λ+μ=0Fy′=−3x+λ+2μ=0Fz′=−1+λ−μ=0Fλ′=x+y+z−1=0Fμ′=x+2y−z=0\begin{cases}F_x^\prime=2y+\lambda+\mu=0\\F_y^\prime=-3x+\lambda+2\mu=0\\F_z^\prime=-1+\lambda-\mu=0\\F_\lambda^\prime =x+y+z-1=0\\F_\mu^\prime =x+2y-z=0\end{cases}

于是

{x=−76y=−1z=196λ=12μ=−12\begin{cases}x=-\dfrac{7}{6}\\y=-1\\z=\dfrac{19}6\\\lambda=\dfrac12\\\mu=-\dfrac12\end{cases}

所以 Fmax⁡=1F_{\max}=1，不存在最小值。