这题和《具体数学》习题 6.43 相同。

众所周知 Fibonacci 数列的生成函数

$F(x)=\sum\limits_{i\ge1}x^iF_i=\dfrac{x}{1-x-x^2}$

这容易验证。考察 $(1-x-x^2)F(x)$，根据 Fibonacci 数列的递推式，它等于 $x$。

于是，本题所要求的式子

$\lim\limits_{K\to\infty}\sum\limits_{i=1}^KF_i10^{K-i}=F\left(\dfrac{1}{10}\right)$

等于 $\dfrac{10}{89}$。

用这样一份代码便可以检测这个分数的循环节为 $44$。打表即可。